New PDF release: Analyse 2

By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul intégral. On y présente d'abord l. a. définition et les propriétés de l'intégrale d'une fonction proceed d'une variable réelle. On utilise ensuite cet outil pour introduire les fonctions élémentaires usuelles de l'analyse, à savoir le logarithme, l'exponentielle, les fonctions trigonométriques directes et inverses et los angeles fonction gamma. On y étudie enfin los angeles représentation de ces fonctions par des séries de Taylor et des séries de Fourier. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il s'agit aussi comme son nom l'indique d'un deuxième cours d'analyse, qui feel que l'on connaît déjà les propriétés des fonctions maintains et des fonctions dérivables, telles que présentées par exemple dans le cours examine 1.

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On convient enfin de poser x0 = 1 lorsque x > 0. La fonction x → xp est donc bien d´efinie sur l’intervalle ]0, +∞[ pour tout exposant p ∈ Q. Observons que l’on a exp(p log x) = exp(log xp ) = xp . Cette propri´et´e permet d’introduire des exposants irrationnels. Soit a ∈ R un nombre r´eel quelconque. La fonction x → xa est la fonction ]0, +∞[ → ]0, +∞[ d´efinie par l’´equation xa = exp(a log x). Observons que, en vertu du th´eor`eme (11), l’on a en particulier : ea = exp a pour tout a ∈ R. Les r`egles de calcul avec les exposants restent encore vraies.

Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´erivable et telle que f (x) ≥ 0. ) le graphe de f une sécante une tangente Fig. 8 – Une fonction convexe 10. D´emontrer l’in´egalit´e entre la moyenne arithm´etique et la moyenne g´eom´etrique de n nombres positifs x1 , x2 , . . , xn : √ n x1 x2 · · · xn ≤ 1 (x1 + x2 + · · · + xn ). n 11. D´emontrer l’in´egalit´e entre la moyenne g´eom´etrique et la moyenne harmonique de n nombres strictement positifs x1 , x2 , . . , xn : √ n ≤ n x1 x2 · · · xn . 1/x1 + 1/x2 + · · · + 1/xn 12.

Ces ´equations entraˆınent les relations suivantes pour un triangle rectangle (figure (15)) : cos u = A A2 + C 2 − B 2 = , sin u = 2AC C 1− A2 B B = , tan u = . 2 C C A Ces relations sont bien celles que l’on utilise en trigonom´etrie pour d´efinir les fonctions trigonom´etriques. Il y a une autre fa¸con de calculer un angle : en utilisant la longueur d’arc. 44 C B u A Fig. 15 – Le triangle rectangle Une courbe plane simple C est d´efinie par un param´etrage x = x(t) , y = y(t) , t ∈ (a, b), o` u x(t) et y(t) sont des fonctions continˆ ument d´erivables telles que x (t)2 + y (t)2 > 0 (ce qui signifie qu’elle admet une tangente en chaque point) et x(t1 ) = x(t2 ) , y(t1 ) = y(t2 ) et t1 , t2 ∈]a, b[ ⇒ t1 = t2 (c’est-`a-dire qu’elle ne se recoupe pas).

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