John H Jellett's An elementary treatise on calculus of variations (1850) PDF

By John H Jellett

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On convient enfin de poser x0 = 1 lorsque x > 0. La fonction x → xp est donc bien d´efinie sur l’intervalle ]0, +∞[ pour tout exposant p ∈ Q. Observons que l’on a exp(p log x) = exp(log xp ) = xp . Cette propri´et´e permet d’introduire des exposants irrationnels. Soit a ∈ R un nombre r´eel quelconque. La fonction x → xa est la fonction ]0, +∞[ → ]0, +∞[ d´efinie par l’´equation xa = exp(a log x). Observons que, en vertu du th´eor`eme (11), l’on a en particulier : ea = exp a pour tout a ∈ R. Les r`egles de calcul avec les exposants restent encore vraies.

Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´erivable et telle que f (x) ≥ 0. ) le graphe de f une sécante une tangente Fig. 8 – Une fonction convexe 10. D´emontrer l’in´egalit´e entre la moyenne arithm´etique et la moyenne g´eom´etrique de n nombres positifs x1 , x2 , . . , xn : √ n x1 x2 · · · xn ≤ 1 (x1 + x2 + · · · + xn ). n 11. D´emontrer l’in´egalit´e entre la moyenne g´eom´etrique et la moyenne harmonique de n nombres strictement positifs x1 , x2 , . . , xn : √ n ≤ n x1 x2 · · · xn . 1/x1 + 1/x2 + · · · + 1/xn 12.

Ces ´equations entraˆınent les relations suivantes pour un triangle rectangle (figure (15)) : cos u = A A2 + C 2 − B 2 = , sin u = 2AC C 1− A2 B B = , tan u = . 2 C C A Ces relations sont bien celles que l’on utilise en trigonom´etrie pour d´efinir les fonctions trigonom´etriques. Il y a une autre fa¸con de calculer un angle : en utilisant la longueur d’arc. 44 C B u A Fig. 15 – Le triangle rectangle Une courbe plane simple C est d´efinie par un param´etrage x = x(t) , y = y(t) , t ∈ (a, b), o` u x(t) et y(t) sont des fonctions continˆ ument d´erivables telles que x (t)2 + y (t)2 > 0 (ce qui signifie qu’elle admet une tangente en chaque point) et x(t1 ) = x(t2 ) , y(t1 ) = y(t2 ) et t1 , t2 ∈]a, b[ ⇒ t1 = t2 (c’est-`a-dire qu’elle ne se recoupe pas).

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